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\thispagestyle{empty} \NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1995/12/01]

\begin{document}

\begin{center}
\textsc{Universidad de los Andes \hfill Departamento de
Matemáticas}\newline {\bf MATE 2410 Geometría Diferencial 1 \\
Problemas para preparar Examen Final}
\end{center}
Prof. José Ricardo ARTEAGA %

\noindent{\vrule width 16.5cm height 0.4pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section*{Problemas}

Un buen entrenamiento es revisar, volver hacer,  los exámenes
parciales de este semestre y además los siguientes. Algunos de ellos
son parecidos y usted encontrará cosas repetidas.

\begin{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 1 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 1
Llene los espacios en blanco o diga si es Falso (F) o Verdadero (V)
según el caso. \textbf{No es necesario justificar}. Conteste este
punto  aquí mismo.
\begin{enumerate}
\item%
Si $M$ es una superficie mínima con parametrización isotérmica $X$,
entonces $X$ es una función ${\vrule width 4cm height 0.4pt}$
\item%
Dada una curva cerrada $C$ en el espacio tridimensional, encontrar
la superficie mínima que tenga a $C$ como borde, se conoce como el
problema de ${\vrule width 4cm height 0.4pt}$
\item%
Si $X(u,v)=(u,v,f(u,v))$ es la parametrización de una superficie
mínima entonces $f$ es una función armónica. (F o V) ${\vrule width
4cm height 0.4pt}$
\item%
La función $\phi=x^2-y^2$ es una función armónica. (F o V) ${\vrule
width 4cm height 0.4pt}$

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 2 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 2
Sea $M$ una superficie mínima parametrizada con coordenadas
isotérmicas $X$. Demostrar:
\begin{itemize}
\item%
que $m=0$
\item%
y además $l=-n$
\end{itemize}
donde los coeficientes de la segunda forma fundamental son $ \left[
\begin{array}{cc}
l & m\\
m & n \\
\end{array}
\right] $

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 3 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 3

Dadas $(f,g)=(-\frac{i}{2},\frac{1}{z})$ funciones en variable
compleja.
\begin{itemize}
\item%
Demuestre que $f$ es holomorfa, que $g$ es meromorfa, y que $fg^2$
es holomorfa en algún dominio $D$
\item%
Halle la solución a las ecuaciones integrales de la representación I
de Weierestrass-Enneper, para hallar la parametrización de la
superficie. Es ésta una superficie conocida?
\end{itemize}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 4 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 4
Considere el hiperboloide $M$ de un solo manto $\displaystyle
X(u,v)=\left(\cosh v \cos u,\cosh v \sin u, \sinh v\right)$.
\newline
Son los meridianos de esta superficie curvas geodésicas?.
Justifique.

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 1 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 1
Sea $\displaystyle M=\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb{R}^2 |\, y >
0\right\}$ con parametrización $\displaystyle X(u, v)=(u, v) $ y con
métrica conforme
\[
w_1 \circ w_2 = \frac{w_1\cdot w_2}{v}
\]
donde $w_1, w_2\in T_p(M)$. Nota este no es el plano de Poincaré
(modelo del plano hiperbólico).
\begin{enumerate}
\item% a
Calcule la curvatura de Gauss $K$ de $M$.
\item% b
Encuentre las geodésicas. Dibuje unas cuantas.
\item% c
Es válido el postulado de las paralelas de Euclides? Explique.
\item% d
Es $M$ isométric al plano de Poincaré $P$? Explique.
\item% e
Calcule la holonomía lo largo de la línea horizontal (euclidiana)
desde el punto $(0,1)$ hasta el punto $(a,1)$.
\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 2 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 2
Considere el catenoide que es el resultado de la rotación de la
catenaria $y=\cosh z$ sobre el eje $z$. El circulo central que se
obtiene cuando rota el punto $(0,1,0)$ es geodésica? Porqué? Es la
única geodésica cerrada? Explique.

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 1 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 1
Llene los espacios en blanco o diga si es Falso (F) o Verdadero (V)
según el caso. \textbf{No es necesario justificar}. Conteste este
punto  aquí mismo.
\begin{enumerate}
\item%
Las únicas superficies mínimas de revolución son:
\item%
Las únicas superficies mínimas regladas son:
\item%
Existen  más de tres superficies mínimas.
\item%
La esfera $S^2$ es una superficie mínima.
\item%
Existen superficies mínimas con curvatura de Gauss constante $K>0$.
\item%
La catenoide es una superficie de Delaunay.
\item%
Existen superficies compactas con curvatura de Gauss constante
$K<0$.
\item%
La superficie de revolución $\displaystyle{X(u,v)=(u, \, u^2 \cos v,
\, u^2 \sin v)}$ tiene curvatura de Gauss $K$ constante.
\item%
La superficie de revolución $\displaystyle{X(u,v)=(u, \, u^2 \cos v,
\, u^2 \sin v)}$ tiene curvatura media $H$ constante.
\item%
La superficie $\displaystyle z=f(x,y)=xy$ es una superficie mínima.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 2 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 2
Demuestre que una superficie de revolución 'llana' (flat), $K=0$, es
parte de un plano, de un cono o de un cilindro.

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 3 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 3

Considere la superficie de revolución: $\displaystyle X(u,v)=\left(
f(v)\cos u ,\, f(v) \sin u ,\, g(v)\right) $
\begin{enumerate}
\item%
Demuestre que las curvas coordenadas (curvas de curvatura, paralelos
$\pi$ y meridianos $\mu$) se cortan ortogonalmente.
\item%
Calcule $E$, $F$ y $G$ en términos de $f$ y  $g$.
\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 4 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 4

Una superficie tiene en unas coordenadas $(u,v)$
  \begin{center}
    \begin{tabular}{lll}
        $E=p \, \sin^2 u +\cos^2 u$ & \quad $F=0$ & \quad $G=p\, \cos^2 u$  \\
            $\displaystyle l=\frac{1}{t}$  & \quad $m=0$ & \quad $\displaystyle n=\frac{\cos^2 u}{t}$ \\
    \end{tabular}
  \end{center}
donde $t$ es una función que no se anula. Determine el valor del
parámetro $p$ para que la superficie sea un trozo de una esfera o un
plano.

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 1 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 1
Considere la curva: $ \displaystyle \beta (s) =
\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos s, \, \sin s, \, \frac{1}{\sqrt{2}}
\cos s \right) $
\newline
Halle la curvatura $\kappa$ y la torsión $\tau$.

\item% 2
Sea $\textbf{u}_p$ un vector tangente unitario en $p$ a una curva
sobre $M$, $\textbf{u}_p \in T_p M$, $|\textbf{u}_p|=1$, y sea
$\beta (s)$ una curva sobre $M$ parametrizada con rapidez unitaria
tal que $\beta(0)=p$ y $\beta'(0)=\textbf{u}_p$. Demuestre que
$k(\textbf{u}_p)=\kappa \cos \theta$, donde $\theta$ es el ángulo
entre los vectores normales $U$ y $N$.

\item% 3
Demuestre que si $M$ es una superficie mínima, entonces $K\leq 0$.
\texttt{Ayuda}: \textit{Observe sus curvaturas principales}.

\item% 4
Sea $M$ el cilindro $\displaystyle{x^2+y^2=R^2}$ parametrizado por
$X(u,v)=(R\cos u, R \sin u , v)$
\begin{enumerate}
\item Muestre que el operador forma $S$ está descrito en la base $\{X_u, x_v\}$ por
\newline $S(X_u)=-\frac{1}{R}X_u$, $S(X_v)=0$.
\item Es ésta una superficie mínima?. Es 'llana' (flat)?. Explique.
\end{enumerate}

\item% 5
Conteste Falso (F) o Verdadero (V). Justificación muy corta.
\begin{enumerate}
\item%
Si $\displaystyle{\beta (s) = \int_0^s B_{\alpha} (t) dt}$, donde
$\alpha (s)$ es una curva con rapidez unitaria,  entonces
$\kappa_{\beta} = \tau_{\alpha}$.
\item%
El operador forma $S$ tiene sus valores propios reales.
\item%
Si $p$ es un punto umbílico, entonces $H(p)=0$.
\item%
En términos de longitud de arco sucede que: $\kappa \tau = - T'
\cdot B'$
\item%
Existe una curva $\alpha : [a,b]\subset \mathbb{R}\longrightarrow
\mathbb{R}^3$ con $\kappa = 0$ y $\tau =1$

\end{enumerate}

%-------------------------------16
\item Calcule la característica de Euler $\chi = V-E+F$ para
\begin{enumerate}
\item La esfera (Resp. 2)
\item El toro (Resp. 0)
\item El disco (Resp. 1)
\item El cilindro (Resp. 0)
\end{enumerate}

%-------------------------------17
\item Compruebe el Teorema de Gauss-Bonnet para:
\begin{enumerate}
\item La esfera
\item El toro
\item El disco
\item El cilindro
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{document}
