\documentclass[11pt,leqno]{article}
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\setlength{\evensidemargin}{0.0cm} \setlength{\textwidth}{16cm}
\thispagestyle{empty} \NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1995/12/01]

\begin{document}

\begin{center}
\textsc{Universidad de los Andes \hfill Departamento de
Matemáticas}\newline {\bf MATE2410 Geometría Diferencial 1
 \\
Examen Final
--- (02/12/2005) } \footnote{ El juramento del uniandino dice: ``Juro
solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que
pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas,
o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis
compañeros o de la misma Universidad''}
\end{center}
Prof. José Ricardo ARTEAGA %\newline
\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c||c|c|c|c|c||p{22pt}|}
        \hline
        Prob. & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5  &  Total \\
        \hline\hline
        Valor & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 &  50 \\
        \hline
        Puntos\rule[-4pt]{0pt}{18pt} &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &   \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}

\noindent Nombre: \hfill Código: \hspace{3cm}

\noindent{\vrule width 16.5cm height 0.4pt}



\noindent{\texttt{}}

\section*{Primera parte}
\noindent
Conteste Falso (F) o Verdadero (V) según el caso. Justifique matemáticamente.
\begin{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 1 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 1
Considere la curva $\beta (t)=(1+3\cos t, 2 + 5 \sin t, 3+4\cos t)$ para $t\in \mathbb{R}$. Calcule
las siguientes funciones de $t$: Velocidad, rapidez, aceleración, tangente, normal, binormal,
curvatura y torsión.
%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 2 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 2
La torsión $\tau$ de $\beta (t)=(1+3\cos t, 2 + 5 \sin t, 3+4\cos t)$ para $t\in \mathbb{R}$ es
$\tau = 0$
%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 3 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 3
La holonomía sobre cualquier curva cerrada sobre la esfera $S^2$ es igual a cero.
%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 4 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 4
Si una superficie tiene métrica $g_{ij}$ (primera forma fundamental $I$)
\[
(g_{ij})=
\left(
\begin{array}{cc}
e^u & 0 \\
0 & e^u
\end{array}
\right)
\]
entonces tiene curvatura de Gauss  constante igual a cero.
%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 5 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 5
La curvatura total del toro $\int_M K$ es igual a cero.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Segunda parte}
\noindent \texttt{Muestre todos sus cálculo explícitamente. Si lo desea puede comprobarlos con su intuición o con resultados tratados en el curso.}

{\vspace{1cm}}
\noindent
Para todos los puntos de esta parte considere la superficie $M=S^2=\left\{(x,y,z)\,|\,x^2+y^2+z^2=1\right\}$ y la curva en el primer octante $\alpha $, que es la intersección de $M$ con el plano $z=\frac{\sqrt{2}}{2}$ entre los puntos $P=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ y $Q=\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, es decir en forma paramétrica
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
M: \quad X(u,v)=\left(\cos u \cos v , \sin u \cos v , \sin v\right)\\
\alpha : \quad \alpha(t)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos t , \frac{\sqrt{2}}{2} \sin t , \frac{\sqrt{2}}{2} \right) ; \quad 0 \leq t \leq \frac{\pi}{4}\\
P=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right),
\quad Q=\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
\end{array}
\right.
\]

{\vspace{1cm}}

\begin{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 1 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 1
Calcule la triada (base ortonormal para $\mathbb{R}^3$) de los vectores tangente, normal y binormal $\left\{T, N, B\right\}$, la curvatura $\kappa$ y la torsión $\tau$ para la curva $\alpha$.

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 2 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 2
Calcule el operador forma $S$ de la superficie $M$, la curvatura media $H$ y la curvatura de Gauss  $K$ para cualquier punto sobre la curva $\alpha$.

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 3 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 3
Calcule la curvatura normal de la superficie en el punto $P$ en dirección del vector tangente en $P$, $k(T)$. $T$ es el vector tangente unitario del punto anterior.

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 4 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 4
Encuentre el sistema de ecuaciones diferenciales que define la geodésica $\gamma$ que une $P$ con $Q$ en el primer octante. No es necesario encontrar su solución.

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 5 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 5
Calcule la holonomía al mover el vector $T$ desde $P$ hasta $Q$ sobre $\alpha$.
\textsc{Ayuda:} \textit{Compruebe que $\omega_{21}=\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, donde $\nabla_{\alpha '}\xi_1 =\omega_{21}\xi_2$ y $\left\{\xi_1, \xi_2\right\}$ base ortonormal del plano tangente $T_p(M)$ para cada $P$ sobre $\alpha$.}
\end{enumerate}



\noindent{\vrule width 6cm height 0.4pt}

\vspace{0.5cm} Tiempo: 2 horas

\texttt{Buena Suerte!}


\end{document}
