\documentclass[11pt,leqno]{article}
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\setlength{\evensidemargin}{0.0cm} \setlength{\textwidth}{16cm}
\thispagestyle{empty} \NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1995/12/01]

\begin{document}

\begin{center}
\textsc{Universidad de los Andes \hfill Departamento de
Matemáticas}\newline {\bf MATE2410 Geometría Diferencial 1
 \\
Examen Final
--- (02/12/2005) } \footnote{ El juramento del uniandino dice: ``Juro
solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que
pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas,
o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis
compañeros o de la misma Universidad''}
\end{center}
Prof. José Ricardo ARTEAGA %\newline
\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c||p{22pt}|}
        \hline
        Prob. & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 &  Total \\
        \hline\hline
        Valor & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 &  50 \\
        \hline
        Puntos\rule[-4pt]{0pt}{18pt} &  &  &  &  &  &    \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}

\noindent Nombre: \hfill Código: \hspace{3cm}

\noindent{\vrule width 16.5cm height 0.4pt}

\noindent{\texttt{}}

\begin{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 1 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 1
Llene el espacio en blanco o conteste Falso (F) o Verdadero (V)
según el caso. Justificación corta, en la hoja de examen.
\begin{enumerate}
\item%
Las únicas superficies mínimas de revolución son: \newline \hfill \framebox[14.2cm][l]{R/}
\item%
Las únicas superficies mínimas regladas son: \newline \hfill \framebox[14.2cm][l]{R/}
\item%
Existen superficies mínimas con curvatura de Gauss constante $K>0$. \hfill \framebox[2cm][l]{R/}
\item%
Existen superficies compactas con curvatura de Gauss constante $K<0$. \hfill \framebox[2cm][l]{R/}
\item%
La superficie $\displaystyle{X(u,v)=(u, \, u^2 \cos v, \, u^2 \sin v)}$ tiene $K$ constante. \hfill
\framebox[2cm][l]{R/}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 2 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 2
Considere la curva $\beta (t)=(1+3\cos t, 2 + 5 \sin t, 3+4\cos t)$ para $t\in \mathbb{R}$. Calcule
las siguientes funciones de $t$: Velocidad, rapidez, aceleración, tangente, normal, binormal,
curvatura y torsión.

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 3 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 3
Suponga que $\alpha : [0,{\ell}]\to \mathbb{R}^3$, es una curva suave parametrizada por la longitud
de arco, y que $\alpha (0) = \alpha \left(\frac{\ell}{3}\right)=\alpha (\ell)$. ?`Cuál es el área
total máxima posible de todas las regiones acotadas por $\alpha$?

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 4 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 4
Considere el plano hiperbólico $M$ según el modelo de Poincaré $\mathbb{H}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|
y > 0 \}$ con métrica $ds^2=\frac{1}{y^2}(dx^2+dy^2)$. Sean $X=y\frac{\partial}{\partial y}$ un
campo vectorial en el plano tangente $T_pM$, y la curva sobre $M$: $\gamma (t)=(t, t)$ para $1\leq
t \leq 2$. Calcule la holonomía de $X$ a lo largo de $\gamma$ desde $P=\gamma (1)$ hasta $Q=\gamma
(2)$.


\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 5 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 5
Considere la superficie $M$ parametrizada por
\begin{displaymath}
\textbf{X}(u,v)=\left((3+\sin v)\sin u, (3+\sin v)\cos u, \cos v \right)
\end{displaymath}
puede considerar  $-\pi/2 \leq u,v, \leq \pi/2$.
\begin{enumerate}
\item Halle una fórmula para el normal unitario hacia afuera $U(u,v)$ de $M$ en $\textbf{X}(u,v)$
\item Halle una fórmula para la curvatura de Gauss $K(u,v)$ de $M$ en $\textbf{X}(u,v)$
\item Cuáles son todos los valores posibles de la curvatura normal de $M$ en $(4,0,0)$ y en $(2,0,0)$. La
respuesta debe expresarla en términos de un intervalo.\newline \textbf{Ayuda:} \emph{La superfice
es un toro. Identifique los ángulos $u$ y $v$ para $P$ y $Q$, haga un gráfico de la situación. No
es necesario hacer cálculos.}
\item Calcule la característica de Euler de $M$, $\chi (M)$.
\item Calcule la curvatura total de Gauss. Compruebe el Teorema de Gauss-Bonnet para $M$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}



\noindent{\vrule width 6cm height 0.4pt}

\vspace{0.5cm} Tiempo: 2 horas

\texttt{Buena Suerte!}


\end{document}
