Universidad de los Andes Departamento de Matemáticas MATE2410 Geometría Diferencial 1 Examen Final — (02/12/2005) ^{1}

Prof. José Ricardo ARTEAGA

Prob. 1 2 3 4 5 Total
Valor 10 10 10 10 10 50

Puntos

Nombre: Código:

1. Considere la curva β(t) = (1+3 cos t, 2+5 sin t, 3+4 cos t) para t ∈ ℝ. Calcule las siguientes funciones de t: Velocidad, rapidez, aceleración, tangente, normal, binormal, curvatura y torsión.

2. La torsión τ de β(t) = (1 + 3 cos t, 2 + 5 sin t, 3 + 4 cos t) para t ∈ ℝ es τ = 0

3. La holonomía sobre cualquier curva cerrada sobre la esfera S^{2} es igual a cero.

4. Si una superficie tiene métrica g_{ij} (primera forma fundamental I)

(g_{ij}) = ( \begin{matrix}e^{u} & 0 \\ 0 & e^{u} \end{matrix} )

entonces tiene curvatura de Gauss constante igual a cero.

5. La curvatura total del toro ∫_{M} K es igual a cero.

Para todos los puntos de esta parte considere la superficie M = S^{2} = {(x, y, z) | x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1} y la curva en el primer octante α, que es la intersección de M con el plano z = \frac{\sqrt{2}}{2} entre los puntos P = (\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}) y Q = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}), es decir en forma paramétrica

M : X(u, v) = (cos u cos v, sin u cos v, sin v)
α : α(t) = (\frac{\sqrt{2}}{2} cos t, \frac{\sqrt{2}}{2} sin t, \frac{\sqrt{2}}{2}); 0 ≤ t ≤ \frac{π}{4}
P = (\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}) , Q = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})

1. Calcule la triada (base ortonormal para ℝ^{3}) de los vectores tangente, normal y binormal {T, N, B}, la curvatura κ y la torsión τ para la curva α.

2. Calcule el operador forma S de la superficie M, la curvatura media H y la curvatura de Gauss K para cualquier punto sobre la curva α.

1El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis compañeros o de la misma Universidad”

3. Calcule la curvatura normal de la superficie en el punto P en dirección del vector tangente en P, k(T). T es el vector tangente unitario del punto anterior.

4. Encuentre el sistema de ecuaciones diferenciales que define la geodésica γ que une P con Q en el primer octante. No es necesario encontrar su solución.

5. Calcule la holonomía al mover el vector T desde P hasta Q sobre α. Ayuda: Compruebe que ω_{21} = sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, donde ∇_{α′}ξ_{1} = ω_{21}ξ_{2} y \{ξ_{1}, ξ_{2}\} base ortonormal del plano tangente T_{p}(M) para cada P sobre α.

Tiempo: 2 horas

Buena Suerte!