\documentclass[11pt,leqno]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage{amssymb,amsmath,graphics,graphicx}%
\setlength{\topmargin}{-1.5cm}  \setlength{\textheight}{24cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0.0cm}
\setlength{\evensidemargin}{0.0cm} \setlength{\textwidth}{16cm}
\thispagestyle{empty} \NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1995/12/01]

\begin{document}

\begin{center}
\textsc{Universidad de los Andes \hfill Departamento de
Matemáticas}\newline {\bf MATE2410 Geometría Diferencial 1
 \\
Solución del Examen Final
--- (02/12/2005) } \footnote{ El juramento del uniandino dice: ``Juro
solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que
pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas,
o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis
compañeros o de la misma Universidad''}
\end{center}
Prof. José Ricardo ARTEAGA %\newline
\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c||p{22pt}|}
        \hline
        Prob. & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 &  Total \\
        \hline\hline
        Valor & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 &  50 \\
        \hline
        Puntos\rule[-4pt]{0pt}{18pt} &  &  &  &  &  &    \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}

\noindent Nombre: \hfill Código: \hspace{3cm}

\noindent{\vrule width 16.5cm height 0.4pt}

\noindent{\texttt{}}

\begin{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 1 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 1
Llene el espacio en blanco o conteste Falso (F) o Verdadero (V)
según el caso. Justificación corta, en la hoja de examen.
\begin{enumerate}
\item%
Las únicas superficies mínimas de revolución son: \newline \hfill \framebox[14.2cm][l]{R/ El
Catenoide y el plano.}
\item%
Las únicas superficies mínimas regladas son: \newline \hfill \framebox[14.2cm][l]{R/ El Helicoide y
el plano. }
\item%
Existen superficies mínimas con curvatura de Gauss constante $K>0$. \hfill \framebox[2cm][l]{R/
Falso}
\item%
Existen superficies compactas con curvatura de Gauss constante $K<0$. \hfill \framebox[2cm][l]{R/
Falso}
\item%
La superficie $\displaystyle{X(u,v)=(u, \, u^2 \cos v, \, u^2 \sin v)}$ tiene $K$ constante. \hfill
\framebox[2cm][l]{R/ Falso}
\end{enumerate}

\noindent{\vrule width 6cm height 0.4pt}

\textsc{Solución.} Justificaciones:
\begin{enumerate}
\item Por el Teorema 3.5.7
\item Por el Teorema 4.2.6 (Teorema de Catalan)
\item Como las curvaturas principales, ambas no son cero, entonces dado que $H=0$ (superficie mínima), tenemos que
$k_2=-k_1$, por lo tanto $K=-k_1^2$
\item Por el Teorema 3.5.5 (Teorema de Liebmann), debe ser una esfera con radio positivo, por lo
tanto su curvatura de Gauss debe ser constante positiva.
\item
\[
X_u=(1,2u \cos v, 2u \sin v); \quad X_v=(0,-u^2 \sin v, u^2 \cos v)\quad
\]
\[
E=1+4u^2; \quad F=0; \quad G=u^4; \quad \sqrt{EG}=u^2\sqrt{1+4u^2}
\]
\begin{displaymath}
\left(\frac{G_u}{\sqrt{EG}}\right)_u=\left(\frac{4u}{\sqrt{1+4u^2}}\right)_u=\frac{4}{(1+4u^2)^{3/2}}\Rightarrow
\boxed{K=-\frac{2}{u^2(1+4u^2)^2}}
\end{displaymath}
\end{enumerate}

\noindent{\vrule width 10cm height 0.4pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 2 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 2
Considere la curva $\beta (t)=(1+3\cos t, 2 + 5 \sin t, 3+4\cos t)$ para $t\in \mathbb{R}$. Calcule
las siguientes funciones de $t$: Velocidad, rapidez, aceleración, tangente, normal, binormal,
curvatura y torsión.

\noindent{\vrule width 6cm height 0.4pt}

\textsc{Solución.}
\begin{enumerate}
\item $\textbf{v}=\beta '(t)=(-3 \sin t, 5 \cos t, -4 \sin t)$
\item $\nu=|\textbf{v}|=|\beta '(t)|=\sqrt{9 \sin ^2 t +25 \cos ^2 t +16 \sin ^2 t}=5$
\item $t=s/5 \Rightarrow T(s)=\beta ' (s)=\left(-\frac{3}{5}\sin \frac{s}{5}, \cos \frac{s}{5}, -\frac{4}{5}\sin \frac{s}{5}\right)$
\item $\kappa = |T'(s)|=\sqrt{\frac{9}{25^2}\cos ^2\frac{s}{5}+\frac{1}{25}\sin ^2 \frac{s}{5}+\frac{16}{25^2}\cos ^2 \frac{s}{5}}=\sqrt{\frac{1}{25}}\Rightarrow \kappa = 1/5$
\item $N(s)=\frac{1}{\kappa}T'(s)=5\left(-\frac{3}{25}\cos \frac{s}{5}, -\frac{1}{5}\sin {s}{5}, -\frac{4}{5}\cos \frac{s}{5}\right)$
\item $B=T\times N = \left(-\frac{4}{5}, 0, \frac{3}{5}\right)$
\item $\tau = -N\cdot B';\quad B'=\textbf{0}\Rightarrow \tau =0$
\end{enumerate}
La curva es una \emph{circunferencia} de radio $5$

\noindent{\vrule width 10cm height 0.4pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 3 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 3
Suponga que $\alpha : [0,{\ell}]\to \mathbb{R}^3$, es una curva suave parametrizada por la longitud
de arco, y que $\alpha (0) = \alpha \left(\frac{\ell}{3}\right)=\alpha (\ell)$. ?`Cuál es el área
total máxima posible de todas las regiones acotadas por $\alpha$?

\noindent{\vrule width 6cm height 0.4pt}

\textsc{Solución.} Dado que $\alpha (0) = \alpha (\ell/3) = \alpha (\ell)$, la curva tiene una
auto-intersección. Usaremos la desigualdad isoperimétrica para cada una de las partes determinadas
por la curva.
\begin{displaymath}
A_1\leq \frac{\ell_1^2}{4\pi};\quad A_2\leq \frac{\ell_2^2}{4\pi}\quad \therefore \quad A\leq
\frac{\ell_1^2}{4\pi}+ \frac{\ell_2^2}{4\pi}=  \frac{(\ell/3)^2}{4\pi} +
\frac{(2\ell/3)^2}{4\pi}=\boxed{\frac{5\ell^2}{36\pi}}
\end{displaymath}

\noindent{\vrule width 10cm height 0.4pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 4 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 4
Considere el plano hiperbólico $M$ según el modelo de Poincaré $\mathbb{H}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|
y > 0 \}$ con métrica $ds^2=\frac{1}{y^2}(dx^2+dy^2)$. Sean $X=y\frac{\partial}{\partial y}$ un
campo vectorial en el plano tangente $T_pM$, y la curva sobre $M$: $\gamma (t)=(t, t)$ para $1\leq
t \leq 2$. Calcule la holonomía de $X$ a lo largo de $\gamma$ desde $P=\gamma (1)$ hasta $Q=\gamma
(2)$.

\noindent{\vrule width 6cm height 0.4pt}

\textsc{Solución.} Usaremos $x=u$ y $y=v$ para la parametrización.
\begin{displaymath}
E=G=\frac{1}{v^2}\quad F=0\quad \omega_{21}=-\frac{E_v}{2\sqrt{EG}}\frac{du}{ds}
\end{displaymath}
Para la parametrización de la curva $\gamma$ en términos de la longitud de arco $s$, debemos
encontrar primero la rapidez, para hallar la relación entre $t$ y $s$:
\[
|\gamma ' (t)|^2=\gamma '(t)\circ \gamma ' (t)=\frac{2}{t^2}\Rightarrow s=\int_1^t|\gamma '(\tau)|
d\tau = \sqrt{t}\ln t \Rightarrow \boxed{t = e^{s/\sqrt{2}}}
\]
\begin{displaymath}
\gamma (s) = \left(e^{s/\sqrt{2}}, e^{s/\sqrt{2}}\right)\quad \gamma (0) = (1,1)\quad
\gamma(\sqrt{2}\ln 2) = (2,2)
\end{displaymath}
Ahora para la curva $\gamma$ tenemos:
\begin{displaymath}
u=v=e^{s/\sqrt{2}}\Rightarrow\omega_{21}=\frac{1}{v}\frac{du}{ds}\Rightarrow
\boxed{\omega_{21}=\frac{1}{\sqrt{2}}}\quad \therefore\quad \texttt{hol}=-\int_0^{\sqrt{2}\ln
2}\frac{1}{\sqrt{2}}ds =\boxed{ - \ln 2}
\end{displaymath}

\noindent{\vrule width 10cm height 0.4pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%% PUNTO 5 %%%%%%%%%%%%%%%%
\item% 5
Considere la superficie $M$ parametrizada por
\begin{displaymath}
\textbf{X}(u,v)=\left((3+\sin v)\sin u, (3+\sin v)\cos u, \cos v \right)
\end{displaymath}
puede considerar  $-\pi/2 \leq u,v, \leq \pi/2$.
\begin{enumerate}
\item Halle una fórmula para el normal unitario hacia afuera $U(u,v)$ de $M$ en $\textbf{X}(u,v)$
\item Halle una fórmula para la curvatura de Gauss $K(u,v)$ de $M$ en $\textbf{X}(u,v)$
\item Cuáles son todos los valores posibles de la curvatura normal de $M$ en $(4,0,0)$ y en $(2,0,0)$. La
respuesta debe expresarla en términos de un intervalo.\newline \textbf{Ayuda:} \emph{La superfice
es un toro. Identifique los ángulos $u$ y $v$ para $P$ y $Q$, haga un gráfico de la situación. No
es necesario hacer cálculos.}
\item Calcule la característica de Euler de $M$, $\chi (M)$.
\item Calcule la curvatura total de Gauss. Compruebe el Teorema de Gauss-Bonnet para $M$.
\end{enumerate}

\noindent{\vrule width 6cm height 0.4pt}

\textsc{Solución.}

\begin{enumerate}
\item
\( %
X_u=((3+\sin v)\cos u, -(3 + \sin v)\sin u, 0)\quad X_v = (\cos v \sin u, \cos v \cos u, -\sin
v) \)%

\(%
E=(3+\sin v) \quad F=0 \quad G=1\quad |X_u \times X_v|=(3+\sin v)^2%
\)%

\(%
\boxed{U=(\sin
u \sin v, \cos u \sin v, \cos v)}%
\)%
\item
\(%
E_v=2(3+\sin v)\cos v \quad G_u=0\quad\Rightarrow \frac{E_v}{\sqrt{EG}}=\frac{2(3+\sin v)\cos
v}{3+\sin v}=2\cos v%
\)%

\( %
\boxed{K=\frac{\sin v}{3+\cos v}} %
\)
\item En $P=(4,0,0)$ tenemos que $u=\pi/2; v=\pi/2$ y en $Q(2,0,0)$ $u=\pi/2; v=-\pi/2$

Sea $\Pi_1$ el plano $xz$, $\Pi_2$ el plano $xy$. La intersección de la superficie $M$ con los
planos coordenados $\Pi_1$ y $\Pi_2$ vistos únicamente para el caso de $P$ y $Q$ son
circunferencias de radios $4, 2$ y $1$, por lo tanto la curvatura normal en $P$ está entre $1/4$ y
$1$ y la curvatura normal en $Q$ está entre $-1/2$ y $1$. Los signos se deben a la orientación de
las normales en estos puntos para la superficie y para la circunferencia.
\item
$\chi (M) = V-E+F=0$, por que si tomamos un rectángulo y su diagonal e identificamos los lados
opuestos de este rectángulo, tendremos un solo vértice, tres lados y dos triángulos.

\item la superficie no tiene frontera, por lo tanto $k_g=0$
\begin{displaymath}
\int_M K = \iint_D K \sqrt{EG-F^2}dudv = \iint_D\frac{\sin v}{3 + \sin v}(3 + \sin v) dudv
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin v dv du =0
\end{displaymath} 

\end{enumerate}

\end{enumerate}



\noindent{\vrule width 6cm height 0.4pt}

\vspace{0.5cm} Tiempo: 2 horas

\texttt{Buena Suerte!}


\end{document}
