Coloquio de Matemáticas

En el marco de su programa Erlangen, Felix Klein formuló la siguiente pregunta: dadas las transformaciones modulares de grado fijo N, ¿es posible construir explícitamente una ecuación diferencial lineal con coeficientes racionales cuyas soluciones se transformen exactamente de acuerdo con esa simetría modular? Aunque G.H. Halphen fue el primero en resolver en 1878 esta pregunta para N=7, la respuesta de A. Hurwitz en 1886 fue la más seminal. Para reformular este problema en términos modernos, utilizamos las aplicaciones de Schwarz. En esta charla me centro entonces en ecuaciones diferenciales cuyas aplicaciones de Schwarz dan lugar a curvas algebraicas compactas como clausuras de sus imágenes. Utilizando la teoría de Picard–Vessiot, explico cómo construir ecuaciones diferenciales lineales homogéneas cuyas aplicaciones de Schwarz asociadas realizan curvas modulares, lo cual ofrece una respuesta general a la pregunta de Klein. Como ejemplo concreto, presento una ecuación diferencial lineal explícita cuya aplicación de Schwarz tiene clausura proyectiva isomorfa a la curva modular X(9). Este es un trabajo conjunto con Yaacov Kopeliovich.

La universalidad es un problema básico en computación cuántica: decidir cuándo un conjunto finito de compuertas cuánticas genera, por composición, todas las operaciones necesarias para aproximar cualquier transformación unitaria con circuitos cuánticos. En este trabajo (en colaboración con Alejandro Borda y Julián Rincón del departamento de física de los Andes) estudiamos ese problema para el grupo de Clifford de un solo qudit con recursos no‑Clifford mínimos, y mostramos que la respuesta está determinada por la factorización prima de la dimensión del sistema.

Decimos que una estructura M es pseudofinita si toda propiedad de primer orden que sea cierta en M también tiene modelos finitos, o de forma equivalente, si M es elementalmente equivalente a un ultraproducto de estructuras finitas. Gracias al Teorema de Łoś, las estructuras pseudofinitas pueden presentarse de forma natural como límites estructurales de estructuras finitas, y por esto resultan ser una herramienta importante en el estudio de problemas de combinatoria asintótica desde un punto de vista modelo-teórico. En esta charla presentaré la construcción de ultraproducto y algunos ejemplos básicos de estructuras pseudofinitas, enfocándome particularmente en ejemplos algebraicos (grupos y campos). En particular, presentaré una caracterización de grupos abelianos pseudofinitos en términos de invariantes algebraicos, y algunas preguntas abiertas relevantes en esta área.

Las inversiones a largo plazo en la Unión Europea se basan en señales de respuesta a precios zonales. Esto ha motivado el desarrollo de subastas de capacidad local que sean capaces de dirigir las inversiones a ubicaciones adecuadas de la red de transmisión. El presente trabajo, desarrollado en conjunto a la Comisión Europea, proporciona un algoritmo para seleccionar ofertas óptimas en subastas de capacidad para inversiones en renovables, considerando al mismo tiempo las limitaciones de la red de transmisión a escala del sistema eléctrico Europeo. El marco propuesto modela la selección de ofertas en subastas de renovables como un problema estocástico de expansión de capacidad en dos etapas. El algoritmo desarrollado se basa en varias reformulaciones y técnicas de descomposición, específicamente diseñado para explotar la infraestructura computacional de alto rendimiento.

Una pregunta geométrica natural es hasta qué punto la forma de una superficie determina el espacio que la rodea y, a la vez, cuánto el espacio ambiente restringe a la superficie. En esta charla hablaré sobre desigualdades precisas que relacionan la curvatura y el área para ciertas clases de superficies en espacios tridimensionales. Estas desigualdades destacan a la esfera redonda como el ejemplo modelo y conducen a resultados de rigidez, mostrando que la igualdad fuerza a que la región circundante tenga la geometría euclidiana estándar, o bien su análogo hiperbólico o esférico, según la curvatura del espacio ambiente. También explicaré cómo estas preguntas surgen en relatividad general y cómo se relacionan con la noción de masa en la teoría. La charla está basada en el artículo Curvature inequalities and rigidity for CMC and STCMC surfaces (arXiv:2603.16707).

Las ecuaciones diofantinas, aquellas que buscan soluciones enteras o racionales, han fascinado a los matemáticos desde la antigüedad. En esta charla veremos cómo problemas clásicos pueden reinterpretarse de manera geométrica, por ejemplo, asociando a cada polinomio en dos variables una curva algebraica. De forma sorprendente, propiedades geométricas como el género determinan si existen infinitas soluciones, ninguna o solo un número finito. A partir de ejemplos históricos y resultados fundamentales, explicaremos cómo la geometría controla la aritmética. Finalmente, presentaremos ideas modernas, como el método de Chabauty–Coleman, que permiten no solo demostrar la finitud de soluciones, sino también obtener cotas explícitas y, en algunos casos, describirlas completamente.