Coloquio de Matemáticas

En esta charla damos una introducción a procesos de Lévy y la extensión a puentes de Lévy, que representan procesos de Lévy condicionados a terminar en un punto dado en un tiempo dado. Después introducimos el principio de grandes desvíos, primero en el contexto de la ley de los grandes números y después en el contexto del movimiento Browniano (Teorema de Schilder) y procesos de Lévy. Por último, formulamos un resultado reciente para puentes de Lévy con incrementos tipo Weibull sobre escalas cortas de tiempo. Este es trabajo es una colaboración con T. Wetzel, Berlín.

Un problema importante en geometría enumerativa es contar curvas racionales que interpolan una configuración de puntos en una superficie algebraica (por ejemplo, en el plano). Sobre los números complejos, la respuesta no depende de la configuración de puntos y se denomina invariante de Gromov-Witten. En contraste, sobre los números reales, esta invarianza falla. Para recuperarla, Welschinger ideó una regla ingeniosa de «signos», dando lugar a las invariantes de Welschinger. Recientemente, Kass, Levine, Solomon y Wickelgren construyeron una invariante sobre un cuerpo (casi) arbitrario. El pequeño «inconveniente» es que estas últimas invariantes ya no son números, sino formas cuadráticas. En un trabajo actual con Erwan Brugallé y Kirsten Wickelgren, establecemos relaciones directas entre estos diferentes tipos de invariantes. En mi charla, quiero dar una introducción a este tema.

Estudiamos técnicas de convexificación para problemas de optimización cuadrática convexa con penalizaciones escalonadas. Mostramos que estos problemas pueden modelarse como programas cuadráticos enteros mixtos, en los que variables binarias representan la naturaleza no convexa de la función escalón. Usando técnicas de optimización discreta, construimos formulaciones convexas/cónicas para el problema de máquinas de soporte vectorial con pérdida 0–1, construyendo estimadores robustos en presencia de anomalías y valores atípicos.

En esta charla, exploraremos las aplicaciones de las L-funciones (una generalización de la función zeta de Riemann) a diversos problemas clásicos de la teoría de números. Abordaremos temas como métodos de conteo sencillos para probar la irreducibilidad de polinomios enteros, el Teorema del Número Primo, el Teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas, la clasificación de extensiones abelianas de los números racionales, representaciones de Galois, entre otros. El principal objetivo de esta presentación es invitar a estudiantes y profesores de Bogotá a un seminario en el que buscamos entender las herramientas necesarias para estudiar la prueba de Wiles et al., sobre el Último Teorema de Fermat. El semestre pasado, cubrimos los fundamentos de la teoría algebraica de números; este semestre, nos centraremos en elementos básicos analíticos.

La teoría de condiciones de estabilidad introducida por Bridgeland hace un par de décadas se ha convertido es una de las herramientas clave para el estudio de la geometría biracional de espacios moduli de haces coherentes. Una de las primeras consecuencias de la existencia de una condición de estabilidad es que restringe la aparición de morfismos entre objetos de la categoría subyacente. Usando esta propiedad y la reciente desigualdad Bogomolov-Gieseker-Koseki mostraremos una versión del celebrado teorema de anulación de Kodaira para el caso de superficies sobre un campo algebraicamente cerrado (independiente de la característica).

Elliptic differential operators over compact manifolds are Fredholm and hence have an integer index. It can be computed by purely topological means via the Atiyah-Singer index theorem and has interesting applications to the geometry of manifolds, e.g. it serves as an obstruction to positive scalar curvature. Over non-compact manifolds, the operators are in general not Fredholm anymore and thus the Fredholm index does not exist. As a replacement, one can define generalized indices in the K-theory of tailor-made C*-algebras. In my talk, I will discuss the general concept behind them and present methods of computing nontrivial information contained in them.

This talk will give an overview of the Picard-Vessiot differential Galois theory beginning with Liouville's theorem on integration in finite terms and ending with the contemporary state of the theory and it's generalizations. Differential Galois theory was conceived of by Sophus Lie as being a differential analogue of the theory of Galois. The main theorem of it's first iteration (work of Picard and Vessiot in the 1890s) is an analogue of theorem on solvability by radicals. Developments in early 20th century mathematics allowed Ellis Kolchin to give a fully algebraic account of the Picard-Vessiot theory. We will survey the work of the Kolchin school and describe closely related model-theoretic perspectives and generalizations. Time permitting, we will discuss connections to other schools of differential Galois theory and applications.

En esta charla hablaremos de in problema sencillo de formular, pero sorprendentemente profundo: ¿qué tan grande puede ser un conjunto de números enteros (entre 2 y n) que no contengan tres elementos distintos a,b,c tales que ab=c? Este tipo de conjuntos libres de productos (product-free sets), son la versión multiplicativa de los conjuntos libres de sumas (sum-free sets), que han sido estudiados durante más de un siglo en combinatoria y teoría de números. Comentaremos las ideas principales detrás de algunos resultados recientes sobre este tema y qué ocurre cuando se estudia el problema en conjuntos aleatorios. El objetivo será presentar las intuiciones y motivaciones generales, sin entrar en los aspectos técnicos, mostrando cómo un problema tan elemental puede dar lugar a preguntas matemáticas muy ricas y abiertas.